Краткая памятка по тригонометрическим функциям
- Запомните основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
- Тангенс — это отношение синуса к косинусу (tg α = sin α / cos α).
- Котангенс — это отношение косинуса к синусу (ctg α = cos α / sin α).
- Тангенс не определен, когда cos α = 0 (углы 90°, 270°).
- Котангенс не определен, когда sin α = 0 (углы 0°, 180°).
- Для нахождения синуса по косинусу (и наоборот) используйте тождество, не забывая про знак.
- Знак тангенса зависит от четверти, в которой находится угол.
- Используйте таблицу значений для быстрого поиска стандартных углов.
- Для обратных вычислений применяйте арктангенс (arctg).
- Помните, что тангенс и котангенс — взаимно обратные функции.
Что представляют собой синус, косинус, тангенс и котангенс
Синус, косинус, тангенс и котангенс — это тригонометрические функции, которые выражают отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Чтобы разобраться в их значении, важно понимать структуру такого треугольника: он состоит из двух катетов и гипотенузы — стороны, лежащей напротив прямого угла и являющейся самой длинной.
Синус
Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.Чем больше угол (в пределах от 0° до 90°), тем больше значение синуса. При 0° синус равен нулю, при 90° — единице.
Косинус
Обратите внимание: синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого. Это объясняется тем, что сумма острых углов равна 90°. Отсюда: sin α = cos (90° − α).
Тангенс
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.Тангенс не определён при угле 90°: в этом случае прилежащий катет стремится к нулю, а деление на ноль в математике не определено.
Котангенс
Котангенс — функция, обратная тангенсу. Это отношение прилежащего катета к противолежащему.Котангенс не определён при угле 0°, поскольку в этом случае равен нулю противолежащий катет.
Запомнить порядок проще всего через аббревиатуру: «синус — противолежащий к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе». Тангенс и котангенс — взаимно обратные величины.
Основные формулы и тождества
Знание определений — только начало. Для решения задач потребуются формулы, связывающие функции между собой.
Основное тригонометрическое тождество
Это фундаментальное соотношение выводится из теоремы Пифагора. Оно звучит так:Данное тригонометрическое тождество справедливо для любого угла α. Если известен синус, из него легко получить косинус, и наоборот.
Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом
Тангенс выражается через синус и косинус:Котангенс — обратным образом:Из этих соотношений следует, что:
Именно эти формулы чаще всего используются при упрощении выражений и решении уравнений на ЕГЭ. Рекомендуем отработать их на конкретных числах, прежде чем переходить к алгебраическим преобразованиям.
в онлайн-школе IBLS+: занимайтесь в группах до 20 человек, получайте индивидуальную обратную связь и улучшайте результаты
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Значения тригонометрических функций для стандартных углов необходимо знать наизусть — они встречаются практически в каждом задании по тригонометрии.
Прочерк (—) означает, что функция для данного угла не определена. Так, тангенс 90° и котангенс 0° не существуют.
В старших классах и на ЕГЭ углы часто записывают в радианах. Формула перевода:Примеры: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π.
Чётность и нечётность
- cos α — чётная функция: cos(−α) = cos α;
- sin α, tg α, ctg α — нечётные функции: sin(−α) = −sin α, tg(−α) = −tg α, ctg(−α) = −ctg α.
Свойство нечётности особенно полезно в задачах ЕГЭ, где нужно упростить выражение с отрицательным аргументом. Зная это свойство, появляется возможность сэкономить время на вычислениях.
Часто задаваемые вопросы о нахождении тангенса по синусу и косинусу
Вопрос: Как найти тангенс, если известны синус и косинус?
Ответ: Тангенс равен отношению синуса к косинусу (tg α = sin α / cos α).
Вопрос: Как найти котангенс, если известны синус и косинус?
Ответ: Котангенс равен отношению косинуса к синусу (ctg α = cos α / sin α).
Вопрос: Что делать, если косинус равен нулю?
Ответ: В этом случае тангенс не определен, так как деление на ноль невозможно.
Вопрос: Можно ли найти синус, зная только косинус?
Ответ: Да, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Нужно извлечь квадратный корень, учитывая знак угла.
Вопрос: Как определить знак тангенса по знакам синуса и косинуса?
Ответ: Тангенс положителен, если синус и косинус имеют одинаковые знаки, и отрицателен, если знаки разные.
Вопрос: Для каких углов тангенс равен 1?
Ответ: Тангенс равен 1 для углов 45° (π/4 радиан) и 225° (5π/4 радиан), а также для всех углов, отличающихся на 180°.
Вопрос: Как найти угол, если известен его тангенс?
Ответ: Используйте функцию арктангенс (arctg или atan) на калькуляторе или в математическом софте.
Вопрос: Что такое основное тригонометрическое тождество?
Ответ: Это формула sin²α + cos²α = 1, которая выполняется для любого угла α.
Вопрос: Как связаны тангенс и котангенс?
Ответ: Тангенс и котангенс взаимно обратны: tg α * ctg α = 1 (при условии, что они определены).
Вопрос: Где можно посмотреть таблицу значений синуса, косинуса и тангенса?
Ответ: В статье выше представлена таблица значений для основных углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90° и т.д.).
